ガロア群その２

Ｄ∈Ｑ、√ＤはＱに属さないとき、ｘ＾２ーＤの
Ｑ上のガロア群を求めてみる。ｘ＾２ーＤの
分解体はＬ＝Ｑ（√Ｄ）である。ガロア群φの
φ（√Ｄ）を求めてみる。

０＝φ（０）＝φ（（√Ｄ）＾２ーＤ）＝φ（（√Ｄ）＾２）ーφ（Ｄ）
＝φ（√Ｄ）＾２ーＤ

だからφ（√Ｄ）はｘ＾２ーＤの根である。
したがって、φ（√Ｄ）＝±√Ｄである。

Ｌの元はa+b√D,a,b∈Ｑ と書けるので
φ（√Ｄ）＝√Ｄであればφ（a+b√Ｄ）
＝a+bφ（√Ｄ）＝a+b√Ｄとなり、φは恒等
写像である。

φ（√Ｄ）＝ー√Ｄであればφ（a+b√Ｄ）
＝aーｂ√Ｄとなる。

よってガロア群Ｇｆ＝｛id、φ｝であり
位数２の群である。ここでidは恒等写像、
φはφ（a+b√Ｄ）＝aーｂ√Ｄの写像である。

ガロア群がどのようなものか、少しだけ
分かってきたでしょうか。