５次代数方程式の解の公式がないこと

また久しぶりの更新ですが、ここでは厳密な議論ではなく直観的な
おおまかな方程式の解の公式について記します。

まず、一般に、ｎ次代数方程式を代数的に解くとは

　　ｘ＾ｎ＋ａ1・ｘ＾ｎ－１＋・・・＋ａｎ＝０

で、方程式の係数のａ１～ａｎを使って解のｘ１～Ｘｎを求める
ことです。係数の四則演算とべき根をつかって解を求めることです。
ここで、係数は解の対称式から成りますから

係数を足したり引いたりの四則演算では、どうやっても式の値は
変わりません。つまり係数に含まれる解の対称性は崩れないのです。

２次方程式の解の公式に出てくるように、この係数の四則演算に
ベキ根をとることにより、解の対称性が崩れるのです。ｘ１から

ｘｎまでの対称式からなる係数は、対称性の高い状態です。それ
に比べて、ｘ１やｘ２など単独の解は対称性の低い状態です。

解の対称性の高い係数の四則演算とベキ根により段階的に対称性を
下げていき、最終的にｘ１やｘ２などの解を求めるというのが

解の公式を求めるやりかたです。それで、２次から４次まではうま
く解の対称性が崩れていくため解の公式があるのです。

それは、何故かというとある段階での係数の四則演算のベキ根を
とったとき解の置換により異なるものが発生するからです。

そのため、それらを組み合わせると対称性が下がってくるのです。
２次方程式の解の公式で、ルートに±が出てくるのが、その例です。

ここから、ちょっとわかりにくいですが、対称性を調べる方法とし
て、解の置換群を考えるというものがあります。５次の置換群が

５次方程式の解の性質を表しています。５次の置換群を最初に
崩すと、５次の交代群になります。ところが、５次の交代群は

偶置換のみからなるため、ベキ根をとっても対称性が崩れないの
です。なぜそうなのかは、ここでは書けません。

というわけで、５次の方程式の解の対称性は代数的演算だけでは
とけないのです。つまり解の公式がないということになります。

さらに詳しいことは、また後に書きます。