続交換子群

前回の証明です。

　　x∈Ｇに対して

　　xaba-1b-1x-1=(xax-1)(xbx-1)(xax-1)-1(xbx-1)-1　より

　　x(D(G)x-1∈D(G)　となる。xD(G)x-1=D(G)　なので

　　D(G)はＧの正規部分群である。

　　Ｇ／D(G)　は群になる。aD(G)b(D(G)=abD(G)である。

　　ここで　abD(G)=baD(G) と　同値なのは

　　a-1b-1abD(G)=D(G) さらに　a-1b-1ab∈D(G) で最後は交換子

　　なので成立する。

　　よって　G／D(G) は可換である。

　　難しいですね。