対称群の非可解性

群Ｇが可解群ならば、Ｇの部分群Ｈは可解群である。

この証明は、Ｇが可解群であるから解鎖列であることと、第２同型定理により

証明される。第２同型定理とは、つぎのものである。

　　　　　Ｈ/（Ｈ∩Ｎ）　同型　ＨＮ/N

上のことより、５次以上の対称群Ｓｎは、可解群ではない。

５次以上の対称群は可解群でない部分群の交対群Ａｎをもつからである。