記事について

最近の四十篇ほどの記事は、それ以前のものに比べて
アクセス数が少ないようです。それはほとんど引用で
証明がない場合が多いためだと思います。
しかし、内容的にはガロアの理論の中心に近いものです。
前半は、クロネッカーの証明をゴールとしているのに
たいして後の方は、より群論や、体論を使ったものに
なっているのです。

今後、どのような記事を書くかは、およそ代数の延長か
情報数学の分野になるか、どちらかだと思います。
情報数学には、すでに記事にした暗号の理論が含まれる
のです。情報系の読者にも役立つものにしたいです。

続標本化定理

標本化定理の説明です。

たとえば、情報源がサイン関数みたいな変化をしているとします。

サインカーブは、一つの周期で、山と谷があります。

この山と谷をとらえればいいわけだから、一つの周期で

２回サンプリングすればよいわけです。つまり周期が半分の

周波数で測ればいいから、情報源の２倍の周波数でよいことに

なります。そうすれば源データを復元？できることになります。

これは、最低の情報保持です、

標本化定理

情報数学の話です。

ある情報源の変化する物理量の最高周波数が、ｆとします。

この時、２ｆの周波数でサンプリングすれば、そのデータは

情報源の情報を保存できることになります。これを

標本化定理といいます。たしか、シャノンが明示したのだろう

と思います。

たとえば、人間の声は、およそ３ＫＨｚが上限であることから

６ＫＨｚで、サンプリングすればよいことになります。声をデータ

としてデジタル化するときは、約６ＫＨｚの帯域があればいいという

ことです。実際には、ＣＤ等に記録されている帯域はもっと広く

とってありますが、電話等ではもう少し低くしてあるようです。

ガロアの考えたこと

ガロアは、方程式の解について調べるときに群というものを考えました。

群の性質を考察することにより、ガロア拡大や正規部分群というものを

見つけて群論の理論を構築しました。その応用として、五次以上の代数

方程式に解の公式がないことを証明したのです。群論に関する本は現在

沢山あると思いますから、それらを熟読することが大切だと思います。

練習問題も少しだけでもやられると、群についてわかりやすくなるような

気がします。

ガロア理論の制限

前回の五次以上の代数方程式は、解の公式がない。

ただし、素数次の場合についてのみ言える、というの

は、剰余群が素数次のときのみ巡回群になるという

ことから発生しています。色々な議論がこのことから

出発しているためです。このことは、前の記事に

出ています。もし時間があれば、探してみてください。

なので、素数次以外の場合は係数により、解けるかど

うか、その都度検討しなければ、解は分からない。

と、いうことです。

ガロアの理論の注意点

５次以上の、一般代数方程式の解の公式はない。

このことは注意がいります。

条件として、素数次で既約な方程式についてのみ

いえるのです。では、素数次でなければ、どうなのかというと

解けるかどうか、分からないのです。

既約であれば、重解がないことが分かっています。

重解があると議論が難しくなります。素数次については、なぜ

この制限があるか、今、明確にできません。

また、記述します。

参考図書

ガロア理論も含めて、もっと広く数学の勉強が

したければ、岩波講座「現代数学への入門」という

シリーズがあります。これはすこし前にでたもので

今では売っていないでしょうが、大学等の図書館へ

いけば読めるかもしれません。全１０巻です。

私は、古本屋で買いました。

ガロア理論については、第７巻代数入門２に載っています。

でも、この本より最近の本の方が

分かりやすいかもしれませんね。

五次以上の代数方程式に解の公式がない

前項で、ガロア群が対称群と同型である

ことがわかりました。よって対称群を調べれば

解が有理数体からのベキ根で表せるかどうかが

分かります。対称群の正規部分群を調べて

行けばよいわけです。5次以上の場合は、対称群

の正規列は存在しないため、解の公式は一般に

ないというわけです。正規列の定義は前に出てきた

記事を参考にしてください。

ガロア理論は、一種のシステム的な理論なので、

段階を追っていかないとわからないのですね。

方程式のガロア群は対称群である

この項は前にも出てきました。重要な項目です。

なぜ、方程式が解けるかどうかが、Sｎを調べれば

わかるかが決まるからです。

方程式ｆ（ｘ）＝０のガロア群をGｆとします。

この群の元φについて考えます。解はα１、α２、・・・αｎ

とします。ここで

　　ｆ（ｘ）＝a0+a1・x+a2・ｘ^2+・・+an・x^n

自己同型群の定義より、φ（０）＝０です。

よって、

　　０＝φ（ｆ（αｊ））＝a0+a1・φ（αｊ）+・・・+an・φ（αｊ）^n

となり、φ（αｊ）も解になります。

つまり、φは根の置換を引き起こしています。

もっと厳密に議論すべきですが、簡単にします。

よって、ガロア群は、対称群と同型となります。

集合として、解の集まりはガロア群の元φの変換するφ（α）の集合

と等しくなります。

これを、ガロアは置換群としてとらえたわけですね。

ガロア拡大について補足

以前に中間体が出てきました。中間体Mの拡大L/Mに対して、

Lを最小分解体とするようなM上の方程式があり、

LはMのガロア拡大となり、ガロア群G（L/M)がありました。

ここで、問題になるのはMがQのガロア拡大体になっているか

どうかです。

その条件が、Mとガロア対応している部分群HがGの正規部分群

であることなのです。

このへんも難しいです。